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2007年04月07日
数学～0.999... = 1の謎
昨晩、某匿名掲示板（一番有名なところではない）にて、"0.999... = 1"の話題がありました。うち自身、この話は知っていたのですが、改めて見ると釈然としないところが。
1/3 = 0.333...
1 = 0.999... （両辺に3をかける）
x = 0.999...
10x = 9.999...(x = 0.999...を両辺からひく)
9x = 9
x = 1
証明をする過程で、右辺の0.333...に3をかけたり、0.999...をひいたり、という箇所が出てきますが、そこがどうにも納得いかなかったのです。無限に桁が続く値に対して、どうやって演算をするのだろう、と。直感ではわかりますが、理屈で納得できません。
で、いろいろ調べたり、考えたりした結果、0.999...のような無限小数に、有限小数の概念を適用してはいけないと気づきました。小中学校で教える上述の証明では、無限小数部分を引き算してますが、それが問題あるのかどうかは、うちの理解の範疇ではありません（問題はあるがわかりやすくするためかもしれないし、問題ではないのかもしれない）。
無限小数のうち循環小数となるものは有理数なので、分数に変換できます。0.999...といった循環小数を分数に変換する手法は解析学に用意されていますから、そこで"0.999... = 1"は自ずと証明されます。これは、無限に続いた結果、値が収束するのではなく、もともと同じ値を表す数値なのです。有限小数となる有理数には、1.0と0.999...のように、二通りの表記方法があることになり、何ともふしぎふしぎ～！
ちなみに、前述の証明は、小中学生に理解しやすい形にしたがために、深追いするとかえって混乱をきたすように思います。
参考
- 循環小数@微分積分いい気分
投稿者 bokupi : 2007年04月07日 14:42
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